Pocos músicos en la historia han sido tan «completos» como Johann Sebastian Bach (1685 – 1750) y muchos de los 20 hijos que tuvo con sus dos esposas siguieron su carrera musical. Naturalmente ayuda mucho el pertenecer a una familia que durante generaciones dio músicos extraordinarios, y que- que sepamos- hubo hasta 52 músicos de primera fila dentro de la familia Bach, pero cuando Johann comenzó sus estudios musicales con su padre, y posteriormente con su hermano-organista de Ohrdruff – nadie podía imaginar que los superaría a todos.

Johann Sebastian Bach no sólo llegó a ser un gran organista y clavecinista sino que además tocaba el violín, la viola de gamba y algunos instrumentos de viento como la flauta, el oboe y la trompa, pero es que, aparte de compositor, también fue un gran afinador y un notable experto en órganos al que se llamaba para examinarlos y peritarlos.

Aunque llegó a ser uno de los principales compositores del Barroco, durante muchos años nadie se fijó en el rigor científico de sus obras e incluso su propio hijo Carl Philipp Emanuel afirmaba que él que no se dejaba arrastrar por consideraciones teóricas, sino que dedicaba sus energías a la parte práctica lo cual no es completamente cierto ya que Bach era un teórico de la música.

En la década de 1920 se hizo un estudio analítico sobre los números estructurales en su obra musical aunque sin hacer mención a ningún significado simbólico de las mismas y en un estupendo trabajo de Vicente Liern Carrión de la Universitat de València Estudi General publicado revista»Suma» se nos hace notar que había bastantes «claves numéricas» en la obra de Bach. Las curiosidades empiezan por algunos hechos originales: por ejemplo si sumamos las cifras que corresponden a la posición en el alfabeto de su apellido (B- a-c-h) obtenemos el número 14 que es la suma de (2+1+3+8) y si lo hacemos con las letras J-S-B-a-c-h obtenemos el número 41 que es el número 14 puesto al revés. La cosa no tendría mayor importancia si no se diera la casualidad de que estos dos números aparecen con bastante frecuencia en la obras de Bach.

Por ejemplo su manuscrito de coral para órgano Von deinen Thron tret ich hermit contiene en la primera línea 14 notas, mientras que el coral en su integridad suma 41 notas.

También hay otros ejemplos de patrones numéricos en la su obra con este otro número: el 43. En la primera sección del Credo de la Misa en Si menor, se repite 43 veces la palabra «credo» y si se suman las posiciones en el alfabeto de las letras c- r-e-d-o, también obtenemos el número 43.

Este simbolismo numérico de Bach empezó a adivinarse tras otros estudios realizados en los años 30 en los que se vio que había una conexión directa entre algunos números simbólicos estructurales y su música. En investigaciones de la década de 1950 se encontraron en los escritos de Andreas Werckmeister (1645-1706) una interpretación simbólica de los números en la obras de J.S. Bach y la tríada 1:2:3 (en notas musicales C-c-g) que representa a la «Trinidad espiritual» aparece en las dos primeras secciones de su Credo de la Misa en Si menor que suman 129 compases, conla curiosidad de que este número es el resultado de multiplicar 43 por 3, que es la cifra que simboliza la Trinidad.

Pero la simbología numérica, aporta poco a las matemáticas, y la estructura matemática de la música siempre ha despertando el interés de los científicos y los musicólogos. Por eso muchos de ellos se han preguntado si hay algún razonamiento matemáticos en las composiciones de Johann Sebastian Bach.

Hay una anécdota contada por J. N. Forkel (1749 – 1818) sobre una visita que este compositor hizo a Federico II de Prusia (Federico el Grande) y cuando este emperador una noche lo invitó a tocar alguna improvisación, Bach pidió un tema y se ofreció a ejecutarlo de inmediato, sin ninguna preparación, lo que dejó a aquel rey muy admirado ya que lo que hizo nuestro compositor en su ofrenda fue una auténtica proeza.

Se trataba de una composición basada en la simetría, en la que el acompañamiento y la melodía están invertidos. Es decir: la pieza suena igual si se toca de adelante hacia atrás que si se hace de atrás hacia adelante, como un palíndromo musical. El acompañamiento es la propia melodía marcha atrás y Johann Sebastián Bach construyó esta Ofrenda Musical BWV 1079 (1747) a partir de un tema musical original de aquel rey Federico II de Prusia desplegando tal maestría en la composición que el resultado es una pieza increíble que «enlaza consigo misma» en un bucle interminable.

En el verano de 1747, Johann Sebastian Bach accedió a ingresar en la Sozietät der Musicalischen Wissenschaften (Sociedad de las Ciencias Musicales) que era una sociedad elitista, creada por un alumno suyo llamado L. C. Mizler (1711 – 1778), que además de músico también era matemático, físico, filósofo y médico. Aquella sociedad solo llego a contar con veinte miembros, y su propósito era el de investigar la relación existente entre la música y las matemáticas y el propio Mizler publicó un tratado de composición basado en el Ars combinatoria de Leibniz y aunque cuando Johann Sebastian ingresó en aquella Sociedad, ya se sabía que en su manera de abordar los cánones o las fugas se ocultaban razonamientos matemáticos, el compositor y para formar parte de la misma, presentó como trabajo científico una pieza canónica basada en su Vom Himmel hoch (BWV 769), junto con un canon a seis voces de las Variaciones Goldberg. Obras maravillosas en las que juega con la «simetría de las notas»

Debemos de hacer un inciso antes de seguir, relatando las aportaciones musicales de Bach y para ello explicaremos los fundamentos de la música, que se remontan a los pensadores de la Escuela Pitagórica en el siglo VI a. C. cuyos estudios constituyeron la base de todos los manuales musicales elaborados posteriormente.

El Tratado sobre la música escrito por Boecio en el siglo VI d.C. ya desarrollaba los principios enunciados por los pensadores pitagóricos. Aquel autor pensaba que la música era una de las ciencias que permitía al hombre alcanzar la sabiduría y denominó quadrivium (o cuádruple vía hacia la sabiduría ) al conjunto de las cuatro ciencias: música, aritmética, geometría y astronomía.

Las notas musicales surgieron por un principio que relaciona los sonidos con la longitud de una cuerda vibrante descubierto por aquellos pitagóricos con la ayuda de un monocordio que es una cuerda tensada sobre la cual se desliza un puente móvil

 Wikipedia 

Con este aparato podemos ver cómo se relaciona la longitud de un objeto vibrante con un sonido determinado. Al pulsar sobre una cuerda tensada obtenemos un sonido que dependerá de la longitud de esa cuerda y los pitagóricos establecieron un método para obtener las notas musicales basado en «el intervalo de quinta«. Si al pulsar una cuerda tensa suena una nota, la nota que produce una cuerda que mide dos tercios de la longitud de la primera está una quinta más alta que la primera. Si volvemos a coger dos tercios de la nueva cuerda, obtenemos otra nota y así sucesivamente.

De esta manera se sacan unos sonidos que dependen de la división de la fuente primaria del sonido en porciones de longitudes determinadas y esto funciona con cualquier clase de objeto que produzca un sonido; por ejemplo, si dividimos en diferentes partes la longitud de un tubo por el cual circula aire también se generarán los mismos tipos de sonidos musicales,

Tal y como vemos en la figura, anterior de esta manera se obtienen las primeras siete notas musicales que todos conocemos : do re mi fa sol la si, pero los compositores tenían que encontrar algún medio que indicara cómo «encajar» las voces y los sonidos de los instrumentos musicales y para eso necesitaban un sistema de notación que mostrara los valores relativos de las notas dentro de una única línea melódica. El sistema utilizado fue el de establecer la relación que existe entre la frecuencia de los distintos sonidos y a eso lo llamaron intervalo.

Los intervalos musicales pueden medirse en términos de relación de frecuencias de los sonidos y los más importantes son: la octava (superior e inferior) que es el intervalo entre dos sonidos que tienen una relación de frecuencias igual a 2 y que corresponde a ocho notas de dicha escala musical. Por ejemplo si comenzamos con do re mi fa sol la si, la nota DO sería la octava superior de la nota do y denominamos a la nota que se toma como base de la escala (en este caso la nota do) con el nombre de nota tónica. Así una octava nos llevaría desde un «Do grave» hasta un «Do agudo» y la octava de un piano corresponde a un salto de ocho teclas blancas

 Fuente 

Luego tenemos el intervalo de quinta que se obtiene con una cuerda de largura dos tercios de la inicial (lo que hicieron los pitagóricos) con una frecuencia de tres medios del sonido inicial y que corresponde a un salto de cinco teclas blancas en un piano y por último el intervalo de cuarta que representa un espacio entre notas de tres cuartos de la inicial (frecuencia cuatro tercios de la nota inicial)

¿Y para qué sirve todo esto? Pues porque a partir de un sonido original se pueden obtener diferentes notas armoniosas. Esto es la base de la música y aunque los pitagóricos no sabían nada de ondas sonoras ni de frecuencias estaban influenciado por sus conocimientos sobre las medias (aritmética, geométrica y armónica) y por eso experimentaron con cuerdas de longitudes 1:2 (los extremos 1 y 2), 2:3 (media armónica de 1 y 2), y 3:4 (media aritmética de 1 y 2) viendo que producían combinaciones de sonidos agradables. A estos intervalos los llamaron en un principio diapasón, diapente y diatesaron y posteriormente sus nombres derivaron a octava, quinta y cuarta

Y así se construyó la «escala musical» que consiste en una sucesión de sonidos que se suceden regularmente en sentido ascendente o descendente, todos ellos relacionados con la nota tónica.

Por eso al hablar de música, vemos que «todo sonido tiene una nota» y que los diferentes sonidos se ajustan a tensiones diferentes, pero que las notas musicales no son solo esas siete primeras do-re-mi-fa-sol-la-si sino que se complementan con otras cinco llamadas do sostenido-re sostenido-fa sostenido-sol sostenido y la sostenido y juntas, esas doce notas musicales forman lo que los músicos conocen como la «escala cromática» que es:

do – do sostenido – re – re sostenido – mi – fa – fa sostenido – sol – sol sostenido – la – la sostenido – si

En esta escala existen once frecuencias intermedias entre una nota y su octava superior y las doce frecuencias de la escala temperada se denotan con esta forma de notación donde el signo # indica una nota “sostenida”.

 do- do#- re- re#- mi- fa- fa#- sol- sol#- la- la#- si

En la escala temperada se intercalan notas (las notas #) entre aquellos sonidos de la octava que distan entre sí en un intervalo de un tono. Es decir que se intercalan notas entre do y re; re y mi; fa y sol ; sol  y la ; la y si, pero en cambio no se intercalan notas entre si y do, y tampoco entre mi y fa, ya que la distancia entre estos sonidos es de un semitono. Como resultado de todas estas modificaciones todos los sonidos sucesivos de la escala temperada están separados entre sí por una distancia de un semitono y entre dos notas consecutivas de la escala temperada existe siempre, exactamente, el mismo intervalo.

Para entender mejor este galimatías os pongo un vídeo explicativo en el que se explica muy bien lo que son las 12 notas notas musicales

Y esto no es todo porque la escala musical que surge de las leyes de la acústica contiene, por lo menos veintiún sonidos: que son las primeras siete notas, sus siete semitonos ascendentes (sostenidos) y sus siete semitonos descendentes (bemoles) pero tenemos que utilizar una escala limitada a doce sonidos por la necesidad práctica de adaptar el teclado de un instrumento de cuerda a las dimensiones y anatomía de una mano humana.

Una vez conocidos los fundamentos de la música volvamos a Bach . Este músico necesitaba encontrar soluciones que conjugasen la teoría con la práctica en lo referido a la técnica de afinación de un piano.

El piano es un instrumento en el que las doce frecuencias de la escala temperada se corresponden con las sucesivas series de siete teclas blancas y cinco teclas negras y el siguiente esquema de un fragmento de su teclado nos muestra cómo a cada tecla le corresponde una nota musical. En la última columna se refleja su frecuencia (en Hertz) que es la vibración de la onda sonora vinculadas por la ecuación f= v / l (donde v es la velocidad del sonido en metros/seg  y l la longitud de la onda en metros ).

Las bajas frecuencias corresponden a tonos graves, mientras que las altas frecuencias dan tonos agudos. Las ocho notas de la escala del piano tienen en su parte central las frecuencias siguientes: (en hertz o ciclos por segundo): do 261, 63, re 293,66, mi 329,63, fa 349,23, sol 392, la 440, si 493,88 y DO 523,25.

Con esta disposición las ochenta y ocho teclas de un piano están alineadas en una ordenada escala cromática que arranca en la primera tecla (extremo izquierdo y la mas grave y por lo tanto la de mas baja frecuencia) hasta la ultima de la derecha (la mas aguda, con una altísima frecuencia casi en el limite de la percepcion del oído humano); las teclas blancas corresponden a los tonos y semitonos llamados diatonicos, y las teclas negras, a los semitonos cromaticos.

La escala diatónica correspondiente a las teclas blancas es una escala compuesta por las siete notas o sonidos principales que dividen la octava en cinco tonos y dos semitonos y consta de siete notas; la octava es la misma que la anterior (una octava más alta) pero la escala cromática se obtiene al tocar el piano en una secuencia continuada de doce teclas desde cualquier Do hasta el siguiente pasando, tanto por las notas blancas como por las negras, obteniendo así una sucesión de doce semitonos

Así es como en este instrumento las teclas forman grupos de 12 (7 blancas y 5 negras) y se repiten de izquierda a derecha. Cada octava tecla blanca cierra un grupo y abre el otro, y la distancia musical entre esas teclas se llama octava (normalmente se llama octava también el mismo grupo de 12 teclas), y su escala es igual a 2:1 – esto es, la frecuencia de la misma nota de la siguiente octava .

Explicado lo anterior diremos que para afinar un instrumento de teclado como un piano es necesario dar a cada sonido de la escala musical su altura y entonación exacta, por lo que cada tecla debe producir su correspondiente nota musical con su frecuencia propia. El afinador debe asegurarse de que la cuerda que corresponde a cada tecla vibra a esa frecuencia correcta y el punto de partida para establecer las diferentes frecuencias en el afinado de un piano se toma convencionalmente en la nota La5 que está ubicada en el centro de su teclado y cuya frecuencia es de 440 oscilaciones por segundo.

En los tiempos de Bach, afinar un órgano o un clavicémbalo (antecesor del piano) era un gran problema porque no pasaba como con el violín, cuyo afinamiento era sencillo ya que se trata de un instrumento que puede ejecutar la escala de los veintiún sonidos (de los que antes hablamos) sin ningún problema, y en el mismo la nota La sostenido, es levemente diferente de la nota Si bemol, sin embargo el piano es un  instrumento enarmónico  porque divide cada tono en dos semitonosexactamente iguales, llamados notas sinónimas (cuando en realidad no lo son) y en este instrumento tanto el La sostenido como el Si bemol «son una misma nota musical» representada por una única tecla negra,

Y en realidad no es así porque el La sostenido auténtico vibra a 458,33 ciclos por segundo, y el Si bemol auténtico, a 475,2 . Ahí empezaban los problemas del afinado de un piano o un clavicordio porque el afinador empezaba afinando el La5 central y continuaba por «quintas justas» sucesivas hasta completar los doce sonidos centrales. ¿Pero qué ocurría? Pues que al no diferenciarse en este instrumentos los semitonos diatónicos de los cromáticos (ya que ambos se fusionan en una sola tecla) la progresión de «quintas» iba trasladando una serie de errores que se sumaban en la «última quinta» y esta quedaba demasiado pequeña, por lo que “aullaba”, con un sonido tan desagradablemente que la llamaban la “quinta del lobo”.

Al haber una quinta más corta, esto hacía que la misma no se pudiese utilizar y si la obra a ejecutar con el piano estaba escritas en Si mayor o en La bemol, la ejecución planteaba inarmonías complicadas, y el caso era aún peor si la obra estaba escrita en Fa sostenido mayor o en Do sostenido mayor, en cuyo caso resultaba directamente inejecutable. También imposibilitaba el uso de las «transposiciones» (que para Bach eran una herramienta fundamental de su obra).

Como Bach era constructor y reparador de órganos, necesitaba una solución práctica que acabase con las dificultades de poder interpretar en todas las tonalidades. La solución ya existía, porque en 1482 (tres siglos antes de que naciera Bach) ya hubo un afinador español llamado Bartolomé Ramos de Pareja que ideó un sistema para afinar los instrumentos de teclado conocido como de  “temperamento igual” (y al hablar de “temperar” en jerga musical nos estamos refiriendo al proceso de templar o afinar un instrumento). Sin embargo las ideas de aquel afinador no fueron comprendidas y su metodología fue desechada.

Pero llegó Ernesto Chladni, un contemporáneo del compositor que puso de nuevo en valor aquel procedimiento de afinación inventando por Ramos de Pareja, obteniendo la fórmula matemática para obtener la frecuencia “temperada” . Con su método cada tono se obtenía multiplicando el anterior por la raíz duodécima de dos. No me extenderé más porque quien quiera saber más puede consultar este enlace de la Wiki 

Con este sistema partimos de la nota La5 y vamos afinando las notas centrales del teclado por «quintas» pero las mismas no van a ser “justas” (como se hacía con la metodología tradicional) sino «temperadas«, es decir ligeramente disminuidas. Cada «quinta de serie» no ha de ser un acorde perfecto, sino que se intenta repartir lo más equitativamente posible entre las doce de la escala las imperfecciones que en el otro método se acumulaban y ocasionaban la “quinta del lobo”, así conseguimos que en vez de obtener once quintas con perfecta entonación y una «doceava horrorosa» saquemos una serie de «doce quintas levemente achicadas».

Pero aquello era un sistema difícil que volvía locos a los afinadores porque para lograr la reducción exacta de cada quinta se necesitaba tener muy “buen oído”, y una gran concentración o ser «un afinador manitas» que con la ayuda de un cronómetro y por cálculos matemáticos basados en la ecuación de Chladni pudieran sacar la cantidad de batimentos que producía por minuto cada «quinta temperada«. Por ejemplo la primera quinta: La-Mi, genera 45 pulsaciones por minuto; la segunda: Mi-Si, 67, la tercera: Si-Fa sostenido 50 y la más difícil de cronometrar, que es la que forman el Sol sostenido y el Re sostenido 84

Una vez que se han afinado las doce quintas centrales repartiendo igualitariamente las imperfecciones de la enarmonía sólo hay que trasladar cada una de estas notas hacia lo agudo y hacia lo grave mediante sucesiones de octavas. Cada octava está conformada por una nota y su homónima con el doble exacto de frecuencia. Por ejemplo: La440 – La880. Sobre este tema y para quién quiera ampliar información sobre los sistemas de afinamiento lo remito al sitio oficial del escritor argentino don Enrique Arenz cuyos datos figura en las fuentes utilizadas en este artículo.

Juan Sebastián Bach, era también violinista y por eso conocía la dificultad de la afinación de un clavicémbalo u órgano y se interesó vivamente por las teorías de Chladni y por su temperamento igual pero como le interesaban los retos se preguntó: ¿por qué no hacer una obra donde las quintas dificultosas estuvieran perfectamente representada? ¿por qué no adoptar esa escala temperada? E Igual que aceptó el reto de aquella «fuga» de Federico II de Prusia, decidió en 1722 componer una de las obras más maravillosas de todos los tiempos:  «El clave bien temperado» 

El significado de este título equivale a decir: «el clavicémbalo bien afinado» y Bach lo compuso para zanjar las discusiones sobre qué temperamentos y sistemas de afinación eran los más adecuados. Actualmente esta obra se emplea para comprobar el perfecto afinamiento de un piano, un bandoneón, un acordeón o un teclado electrónico.

«El Clave bien temperado» es la gran obra de Johann Sebastian Bach. Está dividida en dos volúmenes y cada volumen contiene 24 preludios y fugas en todas las tonalidades mayores y menores de la escala cromática en este orden: Preludio I en Do Mayor, Fuga I en Do Mayor, Preludio II en Do menor, Fuga II en Do menor, Preludio III en Do# Mayor, etc. y así sucesivamente. El primer volumen (que comprende los preludios y fugas del BWV 846 al BWV 869) fue terminado y compilado en 1722, aunque su primera impresión no llegó hasta mucho después de su muerte en 1801. El segundo volumen (que comprende del BWV 870 al BWV 893) fue terminado y compilado en 1744, aunque es probable, que muchos de sus preludios y fugas estuviesen compuestos antes de compilar el primero.

Se trata de una obra escrita por alguien que está absolutamente convencido de la superioridad del sistema  “temperamento igual” y aunque es probable que Bach no tuviera en mente ningún instrumento concreto para ejecutar esta magna obra, seguramente muchas están concebidas para ser ejecutadas con clavecín o clavicordio. Lo que sí está claro es que sus fugas lentas, permiten mayores posibilidades de inflexiones expresivas y una riqueza maravillosa de matices que solo pueden escucharse con un instrumento bien afinado . Recordemos que de no ser así las fugas en Fa sostenido mayor o en Do sostenido mayor, resultarían directamente inejecutables . Por eso J.S.Bach asumió el reto de que solo pudiera ejecutarse su obra con un instrumento «bien afinado»

Esta es una muestra de la obra de J.S. Bach. «El clave bien temperado» . Libro II. Fuga nº 13 en Fa sostenido mayor»

Y esta otra de J.S. Bach es «El clave bien temperado» . Libro II. Fuga nº 3 en Do sostenido mayor BWV 872″

Las fugas de esta obra se escriben en las veinticuatro tonalidades (doce en modo mayor y otras doce en modo menor) consiguiendo Bach con ello una obra que exige para ser ejecutada un instrumento «bien afinado» y con la misma logró familiarizar a los músicos con la incomparable riqueza sonora de toda la gama musical

Las aportaciones musicales de Johann Sebastian Bach no tienen parangón en la historia de la música.

Fuentes:

Vicente Liern Carrión. Universitat de València. Estudi General.»Las matemáticas de Johann Sebastian Bach» . Revista «Suma+»

«Modern Numbers. Source references in the numerical research of Bach’s musical structures«. Pieter Bakker

«El fundamento matemático de la escala musical y sus raíces pitagóricas». María Cecilia Tomasini

«Juan Sebastián Bach y su obra “El clave bien temperado”. Sitio oficial del escritor argentino Enrique Arenz

Libros publicados: